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Algorithme de Levenberg-Marquardt

L'algorithme de Levenberg-Marquardt (LM) est une amélioration de la méthode classique de Gauss-Newton dans la résolution des problèmes de régression non-linéaire des moindres carrés. La méthode est présentée en détail dans Moré (1977). Il s'agit de la méthode recommandée pour les problèmes (de régression) non-linéaires des moindres carrés, car il est plus efficace par rapport aux algorithmes d'optimisation plus généraux (telles que les méthodes Quasi-Newton ou Simplexe ; voir aussi l'Estimation Non-linéaire pour une présentation d'autres méthodes dans le cas de régression/estimation non-linéaire).

Considérons l'ajustement de modèle non-linéaire y = f(q,x) avec les données Xi et Yi, i = 1,...,mXi est de dimension k et q est de dimension n. La méthode LM recherche q¨ la solution de q (localement) minimisé :

g(q )=åi=m1(Yi - f(q,Xi))2

L'algorithme LM trouve la solution en appliquant la routine :

qj+1=qj - (J'J + lD)-1J'(Y - f(q,Xi))

de manière itérative, où :

Y est le vecteur m x 1 contenant Y1,...,Ym,

X est la matrice m x k contenant X1,...,Xm,

J est la matrice Jacobienne pour f(q,x) en respectant q,

D est une matrice diagonale n x n pour ajuster les facteurs d'échelle.