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Gibbs (Échantillonneur)

L'échantillonneur de Gibbs est une méthode populaire pour les analyses MCMC (Markov chain Monte-Carlo). Il constitue une bonne manière d'échantillonner les distributions combinées de plusieurs variables, en vous basant sur la notion suivante : pour échantillonner une distribution combinée, échantillonnez de manière répétitive à partir de ses conditions uni-dimensionnelles tout en sachant ce que vous ayez vu jusqu'alors (cette notion est clairement détaillée dans le programme STATISTICA Visual Basic ci-dessous).

Par exemple, les valeurs de la distribution combinée à deux variables aléatoires, X et Y, peuvent être facilement simulées par l'échantillonneur de Gibbs utilisant leurs distributions conditionnelles plutôt que leur distribution combinée. En commençant par un choix arbitraire pour X et Y, X est simulé à partir de la distribution conditionnelle de X, sachant Y, et Y est simulé à partir de la distribution conditionnelle de Y, sachant X. L'alternance entre les deux distributions conditionnelles, dans les étapes suivantes, génère un échantillon à partir de la bonne distribution de liaison de X et Y ; l'approximation est meilleure à mesure que la longueur du pas de l'échantillonneur de Gibbs augmente.

STATISTICA Visual Basic est un excellent environnement pour réaliser ces types d'analyses, parce qu'il (1) comprend un générateur de nombres aléatoires efficace et de grande qualité, (2) peut rapidement générer des feuilles de données et divers graphiques à partir de données simulées, et (3) permet un accès pratique à des routines externes (compilées) pour des traitements de données très rapides.

Le programme d'exemple STATISTICA Visual Basic suivant illustre l'application de l'échantillonneur de Gibbs pour générer des variables aléatoires bivariées normalement distribuées. Une introduction de l'échantillonneur de Gibbs, MCMC, et cet exemple particulier peuvent être trouvés en détails dans Murdoch (2000).

' Voir Chance Magazine ; Vol. 13, No. 4, Automne 2000;

' Murdoch, Duncan J. Markov Chain Monte-Carlo.

Option Base 1

Option Explicit

Sub Main

Dim GibbsSample As New Spreadsheet

Dim X As Double

Dim Y As Double

Dim StdDev As Double

Dim i As Integer

Dim Steps As Integer

Steps = 1000

GibbsSample.SetSize(Steps,2)

X = 0

Y = 0

StdDev = 1

For i=1 To Steps

' Distributions conditionnelles:

X = 0.9*Y + RndNormal(StdDev)

Y = 0.9*X + RndNormal(StdDev)

GibbsSample.Value(i,1) = X

GibbsSample.Value(i,2) = Y

Next i

' construction d'un nuage de points avec Histogrammes

Dim newanalysis As Analysis

Set newanalysis = Analysis (scScatterplotWithHistograms,GibbsSample)

newanalysis.Dialog.IntervalsX.Variable = "1"

newanalysis.Dialog.IntervalsY.Variable = "2"

newanalysis.Dialog.Graphs.Visible = True

End Sub

Les valeurs générées par l'échantillonneur de Gibbs en utilisant ce programme sont représentées ci-dessous.

Comme nous pouvions nous y attendre, les valeurs générées suivent une distribution normale bivariée.