Statistiques Fondamentales :

L'animation ci-dessus représente la distribution Bêta lorsque ces deux paramètres de forme changent.

Distribution Binomiale. La distribution binomiale permet de décrire la distribution d'événements binomiaux, comme le nombre d'hommes et de femmes dans un échantillon aléatoire de sociétés commerciales ou le nombre de composantes défectueuses dans des échantillons de 20 unités, issus d'un processus de production. La distribution binomiale se définit comme suit :

où

Distribution de Cauchy. La distribution de Cauchy est intéressante pour des raisons théoriques. Bien que sa moyenne puisse être nulle, puisqu'elle est symétrique par rapport à zéro, l'espérance mathématique, la variance, les moments d'ordre supérieur et la fonction génératrice de moments n'existent pas. La distribution Cauchy se définit comme suit :

où

L'animation ci-dessus montre l'évolution de la forme de la distribution de Cauchy lorsque le paramètre de position est égal à 0 et que le paramètre de forme est égal à 1, 2, 3 et 4.

Distribution du Chi². La distribution du Chi-deux permet d'ajuster des distributions continues à vos données comme indiqué ci-après. La somme de v variables aléatoires indépendantes au carré, chacune étant distribuée suivant la loi normale, est distribuée selon la loi du Chi-deux à v degrés de liberté. Cette distribution est généralement utilisée dans la modélisation de variables aléatoires (par exemple, représentant des effectifs) dans de nombreuses applications statistiques.

L'animation ci-dessus indique l'évolution de la forme de la distribution du Chi² lorsque le nombre de degrés de liberté augmente (1, 2, 5, 10, 25 et 50).

Distribution Exponentielle. La distribution exponentielle permet d'ajuster des distributions continues à vos données comme indiqué ci-après. Si T est le temps qui s'écoule entre deux événements rares se produisant en moyenne avec un taux l par unité de temps, alors T est distribué exponentiellement avec un paramètre l (lambda). La distribution exponentielle est donc fréquemment utilisée pour modéliser l'intervalle de temps qui s'écoule entre des événements aléatoires successifs. L a période qui s'écoule entre deux croisements de véhicules à un carrefour, la durée de vie d'équipements électroniques, ou l'arrivée de clients à la caisse d'un supermarché constituent des exemples de variables distribuées de cette manière.

Valeur extrême. La distribution valeur extrême est souvent utilisée pour modéliser des événements extrêmes, tels que l'importance de crues, l'intensité des rafales de vent rencontrées par des avions, les indices maximum de stock pour une année donnée, etc... ; elle est également souvent utilisée pour les tests de fiabilité, par exemple, pour représenter la distribution des temps à l'échec de circuits électriques (voir Hahn et Shapiro, 1967). La distribution de valeur extrême (Type I) a pour fonction de densité :

Distribution du F. La distribution du F de Snedecor est essentiellement utilisée dans les tests de variance (par exemple, ANOVA). Le ratio de deux Chi² divisés par leurs degrés de liberté respectifs suit une distribution du F. La distribution du F (pour x > 0) a pour fonction de densité de probabilité (pour = 1, 2, ...; = 1, 2, ...):

où

L'animation ci-dessus fait apparaître différentes régions critiques (valeur p) pour une distribution du F avec les deux degrés de liberté égaux à 10.

Distribution Gamma. La fonction de densité de la distribution exponentielle possède un mode égal à zéro. Dans de nombreux cas, nous savons a priori que le mode de la distribution d'une variable aléatoire particulière est différent de zéro (par exemple, lors de la modélisation de la distribution des durées de vie de produits tels que des ampoules électriques, ou le temps passé dans une file d'attente afin d'obtenir son billet d'entrée pour un match de football). Dans ces cas là, la distribution gamma permet de bien décrire la distribution sous-jacente. La distribution Gamma se définit comme suit :

L'animation ci-dessus représente la distribution gamma lorsque le paramètre de forme passe de 1 à 6.

Distribution Géométrique. Si vous effectuez des essais de Bernoulli indépendants jusqu'à ce qu'un "succès" se produise, le nombre total d'essais requis est une variable aléatoire géométrique. La distribution géométrique se définit comme suit :

où

Distribution Gompertz. La distribution Gompertz est une distribution théorique des durées de survie. Gompertz (1825) a proposé un modèle de probabilités pour la mortalité humaine, basé sur l'hypothèse que "l'énergie moyenne dépensée par un homme à éviter de mourir est telle qu'à la fin de chaque période de temps égales d'une infiniment courte durée, il perd des portions identiques de l'énergie restante qu'il avait pour résister à la mort au début de ces intervalles" (Johnson, Kotz, Balakrishnan, 1995, p. 25). La fonction de risque obtenue est la suivante :

Elle est souvent utilisée en Analyse de Survie. Voir Johnson, Kotz, Balakrishnan (1995) pour plus d'informations.

Distribution de Laplace. Pour des applications mathématiques intéressantes de la distribution de Laplace, voir Johnson et Kotz (1995). La distribution de Laplace (ou Double Exponentielle) se définit comme suit :

et b>0

où

Le graphique ci-dessus illustre l'évolution de la forme de la distribution de Laplace lorsque le paramètre de position demeure égal à 0 et que le paramètre d'échelle est égal à 1, 2, 3 puis 4.

Distribution Logistique. La distribution logistique est utilisée pour modéliser des réponses binaires (par exemple, le Sexe) et s'utilise fréquemment en régression logistique. La distribution logistique se définit comme suit :

où

Le graphique ci-dessus illustre l'évolution de la forme de la distribution logistique lorsque le paramètre de position est égal à 0 et que le paramètre d'échelle est égal à 1, 2 puis 3.

Distribution Log-normale. La distribution log-normale est souvent utilisée dans la simulation de variables comme les revenus personnels, l'âge au moment du premier mariage ou la tolérance à un poison chez des animaux. D'une manière générale, si x est un échantillon issu d'une distribution normale, y = ex sera un échantillon suivant une distribution log-normale. Par conséquent, la distribution log-normale se définit comme suit :

où

L'animation ci-dessus illustre une distribution log-normale pour un mu égal à 0 et un sigma de 0,10, 0,30, 0,50, 0,70 et 0,90.

Distribution Normale. La distribution normale (la "courbe en cloche" qui est symétrique par rapport à la moyenne) est une fonction théorique souvent utilisée en statistique inférentielle comme approximation de distributions d'échantillonnage (voir aussi la rubrique Concepts Élémentaires). D'une manière générale, la loi normale fournit un bon modèle pour une variable aléatoire lorsque :

1. La variable a une forte tendance à prendre une valeur centrale ;

2. Il existe une probabilité identique d'observer un écart positif ou négatif par rapport à cette valeur centrale ;

3. La fréquence des écarts chute rapidement à mesure que ces écarts deviennent plus importants.

On peut considérer la loi normale, comme la conjonction d'une infinité d'événements aléatoires indépendants (binomiaux) déterminant les valeurs d'une variable particulière. Par exemple, il existe sans doute une infinité de facteurs qui déterminent la taille d'un individu (des milliers de gênes, la nutrition, les maladies, etc...). Aussi, peut-on s'attendre à une distribution normalement distribuée de la taille dans la population. La fonction de répartition normale est déterminée par la formule suivante :

où

L'animation ci-dessus illustre plusieurs régions critiques de la distribution normale standard (c'est-à-dire avec une moyenne de 0 et un écart-type de 1). La distribution normale est souvent utilisée pour les tests d'hypothèses.

Distribution de Pareto. La distribution de Pareto est souvent utilisée dans le suivi des processus de production (voir les modules Cartes de Contrôle Qualité et Analyse de Processus). Par exemple, une machine qui produit des pneumatiques pour automobiles va occasionnellement produire un défaut sur le pneu. La distribution de Pareto peut être utilisée pour modéliser la longueur de pneumatique entre deux défauts consécutifs. La distribution standard de Pareto se définit comme suit :

où

L'animation ci-dessus illustre la distribution de Pareto pour un paramètre de forme égal à 1, 2, 3, 4 et 5.

Distribution de Poisson. La distribution de Poisson est parfois également appelée distribution des événements rares. Comme exemple de variables distribuées selon la loi de Poisson, vous pouvez prendre le nombre d'accidents par personne, le nombre de gains au casino par personne, ou encore le nombre de défauts critiques repérés dans un processus de production. La distribution de Poisson se définit comme suit :

où

Distribution de Rayleigh. Si deux variables indépendantes y1 et y2 sont indépendantes entre elles et qu'elles sont normalement distribuées avec une variance égale, la variable x = Ã- (y12+ y22) suit alors une distribution de Rayleigh. Ainsi un exemple (et une métaphore adaptée) d'une variable de ce type serait la distance des fléchettes à la cible dans un jeu de fléchettes, où les erreurs sur les deux dimensions de la cible sont indépendantes et normalement distribuées. La distribution de Rayleigh se définit comme suit :

où

Le graphique ci-dessus illustre l'évolution de la forme de la distribution de Rayleigh lorsque le paramètre d'échelle est égal à 1, 2 et 3.

Distribution uniforme. La distribution uniforme permet de décrire des variables aléatoires avec une densité de probabilité constante sur un intervalle défini a<b.

où

Distribution du t de Student. La distribution du t de Student est symétrique par rapport à zéro, et sa forme est proche de celle d'une distribution normale standard. Elle est essentiellement utilisée pour tester des hypothèses sur la moyenne d'une population particulière. La distribution du t de Student se définit comme suit (pour = 1, 2, . . .)

où

La forme de la distribution du t de Student dépend du nombre de degrés de liberté. Comme le montre l'illustration ci-dessus, la forme de la distribution évolue à mesure que le nombre de degrés de liberté augmente.

Distribution de Weibull. Comme nous l'avons déjà indiqué, la distribution exponentielle est souvent utilisée pour modéliser des mesures de temps à l'échec, lorsque le taux d'échec (risque) est constant au cours du temps. Lorsque la probabilité d'échec varie au cours du temps, vous devez utiliser la distribution Weibull. Ainsi, la distribution Weibull est souvent utilisée dans les tests de fiabilité (par exemple, de relais électroniques, bouteilles d'oxygène, etc... ; voir Hahn et Shapiro, 1967). La distribution Weibull se définit comme suit :

où

L'animation ci-dessus illustre la distribution de Weibull lorsque le paramètre de forme augmente (0.5, 1, 2, 3, 4, 5 et 10).